Trabajo con osciladores armónicos tridimensionales

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Por Steven Holzner

En la física cuántica, cuando se trabaja en una dimensión, el oscilador armónico general de partículas se parece a la figura que se muestra aquí, donde la partícula está bajo la influencia de una fuerza de restauración – en este ejemplo, ilustrado como un resorte.

Un oscilador armónico.

La fuerza de restauración tiene la forma Fx = -kxx en una dimensión, donde kxis es la constante de proporcionalidad entre la fuerza sobre la partícula y la ubicación de la misma. La energía potencial de la partícula en función de la ubicación x es

Esto también se escribe a veces como

Ahora eche un vistazo al oscilador armónico en tres dimensiones. En tres dimensiones, el potencial se ve así:

Ahora que tienes una forma para el potencial, puedes empezar a hablar en términos de la ecuación de Schrödinger:

Sustituyendo el potencial tridimensional, V(x, y, z), se obtiene esta ecuación:

Tome esta dimensión por dimensión. Debido a que se puede separar el potencial en tres dimensiones, se puede escribir

Por lo tanto, la ecuación de Schrödinger se ve así para x:

Resolviendo esa ecuación, obtienes la siguiente solución:

dónde

y nx = 0, 1, 2, y así sucesivamente. El término Hnx indica un polinomio de hermite, que se ve así:

  • H0(x) = 1
  • H1(x) = 2x
  • H2(x) = 4×2 – 2
  • H3(x) = 8×3 – 12x
  • H4(x) = 16×4 – 48×2 + 12
  • H5(x) = 32×5 – 160×3 + 120x

Por lo tanto, puede escribir la función wave de esta manera:

Esa es una forma relativamente fácil para una función de onda, y todo ello es posible por el hecho de que se puede separar el potencial en tres dimensiones.

¿Qué hay de la energía del oscilador armónico? La energía de un oscilador armónico unidimensional es

Y por analogía, la energía de un oscilador armónico tridimensional viene dada por

Tenga en cuenta que si tiene un oscilador armónico isotrópico, donde

la energía se ve así:

En cuanto al potencial cúbico, la energía de un oscilador armónico isotrópico 3D es degenerada. Por ejemplo, E112 = E121 = E211. De hecho, es posible tener más de tres veces la degeneración de un oscilador armónico isotrópico 3D – por ejemplo, E200 = E020 = E002 = E110 = E101 = E011.

En general, la degeneración de un oscilador armónico isotrópico 3D es

donde n = nx + ny + nz.

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