Encontrando la Ecuación de Schrödinger para el Átomo de Hidrógeno

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Por Steven Holzner

Usando la ecuación de Schrödinger nos dice casi todo lo que necesitamos saber sobre el átomo de hidrógeno, y todo se basa en una sola suposición: que la función de onda debe ir a cero como r va al infinito, que es lo que hace posible resolver la ecuación de Schrödinger.

Los átomos de hidrógeno están compuestos de un solo protón, alrededor del cual gira un solo electrón. Puede ver cómo se ve en la siguiente figura.

Nótese que el protón no está en el centro exacto del átomo – el centro de la masa está en el centro exacto. De hecho, el protón está en un radio de rp desde el centro exacto, y el electrón está en un radio de re.

El átomo de hidrógeno.

Entonces, ¿qué aspecto tiene la ecuación de Schrödinger, que te dará las ecuaciones de onda que necesitas? Bueno, incluye términos para la energía cinética y potencial del protón y el electrón. Este es el término para la energía cinética del protón:

Aquí, xp es la posición x del protón, yp es la posición y del protón, y zp es su posición z.

La ecuación de Schrödinger también incluye un término para la energía cinética del electrón:

Aquí, xe es la posición x del electrón, ye es la posición y del electrón, y ze es su posición z.

Además de la energía cinética, hay que incluir la energía potencial, V(r), en la ecuación de Schrödinger, lo que hace que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se vea así:

dónde

es la función de onda del electrón y del protón.

La energía del potencial electrostático, V(r), para un potencial central viene dada por la siguiente fórmula, donde r es el vector de radio que separa las dos cargas:

Como es común en la mecánica cuántica, se utiliza el sistema de unidades CGS (centímetro-gramo-segundo), donde

Así que el potencial debido a las cargas de electrones y protones en el átomo de hidrógeno es

Nota que r = re – rp, de modo que la ecuación precedente se convierte en

lo que te da esta ecuación de Schrödinger:

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